\begin{EXERCICE}
\exercice{Gaz parfait}
On considère un gaz parfait qui passe d'un état inital
        $\Vol_0   = \numprint{24.6}~\unit{l}$,
        $\Temp_0  = \numprint{300}~\unit{K}$ et
        $\Press_0 = \numprint{1}~\unit{bar}$
à l'état final
        $\Press_1 = \numprint{4}~\unit{bar}$ et
        $\Temp_1  = \numprint{445}~\unit{K}$.

\begin{questions}
\item Calculer le travail $\travail_1$ et la variation
        d'énergie interne $\Denergie_1$ lors
        d'une compression adiabatique réversible.
\item Quel serait le travail $\travail_2$ et la variation
        d'énergie interne $\Denergie_2$ mis en jeu pour
        revenir à l'état initial $(\Press_0,\Vol_0)$ par
        la succession des deux transformations suivantes:
        une isobare réversible jusqu'à $\Vol_0$ suivie d'une
        isochore réversible jusqu'à $\Press_0$?

\begin{donnees}
\item  La capacité calorifique à volume constant du gaz est
        $\Cv = \numprint{20.5}~\unit{J\,K^{-1}\,mol^{-1}}$
\end{donnees}
\end{questions}
\end{EXERCICE}
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%%
\begin{SOLUTION}
\soluce{Gaz parfait}
\reponse{Compression adiabatique réversible}

La compression est adiabatique donc $\chaleur = 0$, d'où
$\Denergie = \travail$, avec $\dtravail = -\Pext\dd\Vol$. La
transformation est réversible, donc à chaque instant, 
$\Pext = \Press$. En utilisant $\Press\Vol^\gamma = \text{cst}$, avec
$\gamma = \frac{\Cp}{\Cv}$ et $\Cp - \Cv = \Rgp$:
\[
\dtravail = -\Press\dd\Vol = - \frac{\dd\Vol}{\Vol^\gamma}
\]
d'où
\[
\begin{split}
\travail & =  - \text{cst}\int_0^1\frac{\dd\Vol}{\Vol^\gamma}  
           = - \frac{\text{cst}}{1 - \gamma}\left(\Vol_1^{1 - \gamma} - \Vol_0^{1 - \gamma}\right) \\
         & = - \frac{1}{1 - \gamma}\left(\Press_1\Vol_1^\gamma\Vol_1^{1 - \gamma} - \Press_0\Vol_0^\gamma\Vol_0^{1 - \gamma}\right)
           = - \frac{1}{1 - \gamma}\left(\Press_1\Vol_1 - \Press_0\Vol_0\right) \\[5pt]
         & = \frac{\Cv}{\Rgp}\left(\Press_1\Vol_1 - \Press_0\Vol_0\right)
           = \frac{\Cv}{\Rgp}\left(\nmol\Rgp\Temp_1 - \nmol\Rgp\Temp_0\right) \\
         & = \nmol\Cv\left(\Temp_1 - \Temp_0\right)
           =  \frac{\Press_0\Vol_0}{\Rgp\Temp_0}\Cv\left(\Temp_1 - \Temp_0\right)
\end{split}
\]
Donc:
\[
\travail = \frac{10^5\cdot\numprint{24.6}\,10^{-3}}{\Rgpval\cdot\numprint{300}}\numprint{20.5}\left(\numprint{445} - \numprint{300}\right)
         = \numprint{2931.58}~\unit{J}
\]

\reponse{Retour en deux étapes.}
Soit $a$ l'état intermédiaire, on a
\[
\Temp_a = \frac{\Press_1\Vol_0}{\nmol\Rgp} = \Temp_0\frac{\Press_1}{\Press_0}
          \left( = \numprint{300}\frac{\numprint{4}\,10^5}{\numprint{1}\,10^{5}} = \numprint{1200}~\unit{K}\right)
\]
Transformation isobare jusqu'à $\Vol_0$:
\[
\begin{split}
\dtravail_{1a} & = -\Pext\dd\Vol \\
               & = -\Press_1\dd\Vol \\[5pt]
\dchaleur_{1a} & = \nmol\Cp\dd\Temp \\
               & = \frac{\Press_0\Vol_0}{\Rgp\Temp_0}\left(\Rgp - \Cv\right)\dd\Temp \\
\\
\travail_{1a}  & = -\Press_1\left(\Vol_0 - \Vol_1\right) \\[5pt]
\chaleur_{1a}  & = \frac{\Press_0\Vol_0}{\Rgp\Temp_0}\left(\Rgp - \Cv\right)\left(\Temp_a - \Temp_1\right)
\end{split}
\]

Transformation isochore jusqu'à $\Press_0$:
\[
\begin{split}
\dtravail_{a0} & = 0 \\[5pt]
\dchaleur_{a0} & = \nmol\Cv\dd\Temp \\
               & = \frac{\Press_0\Vol_0}{\Rgp\Temp_0}\Cv\dd\Temp \\
\\
\travail_{a0}  & = 0 \\[5pt]
\chaleur_{a0}  & = \frac{\Press_0\Vol_0}{\Rgp\Temp_0}\Cv\left(\Temp_0 - \Temp_a\right)
\end{split}
\]

Donc:
\[
\begin{split}
\travail_2 & = \travail_{1a} + \travail_{a0}
             = -\Press_1\left(\Vol_0 - \Vol_1\right) \\[5pt]
\Denergie_2 & = \travail_2 + \chaleur_2
              = \travail_{1a} + \travail_{a0} + \chaleur_{1a} + \chaleur_{a0} \\
            & = -\Press_1\left(\Vol_0 - \Vol_1\right)
                + \StateVarEtatGP[0]{\nmol}\left(\Rgp - \Cv\right)\left(\Temp_a - \Temp_1\right)
                + \StateVarEtatGP[0]{\nmol}\Cv\left(\Temp_0 - \Temp_a\right)
\\
\travail_2 & = - 4\,10^5 \left(\numprint{24.6} - \numprint{123}\right)
\end{split}
\]
\end{SOLUTION}
